5.5 OPERAZIONI CON GLI INSIEMI

1. (B) Che cosa sono le operazioni tra insiemi?

[Sono delle regole che, partendo da un insieme A e da un insieme B, permettono di ottenere un insieme C.]

1. INTERSEZIONE TRA INSIEMI

2. (A) Che cos’è l’intersezione tra due insiemi?

[L’insieme formato da elementi che appartengono a entrambi gli insiemi. È anche detto “insieme intersezione”.

Esempio: consideriamo l’insieme A di tutti i numeri superiori a 7 e inferiori a 13 e l’insieme B di tutti i numeri superiori a 10 e inferiori a 16: A = {8, 9, 10, 11, 12}, B = {11, 12, 13, 14, 15}. L’insieme intersezione di A e di B è l’insieme C costituito dagli elementi comuni ad A e a B, ovvero C = {11, 12}.]

3. (A) Qual è il simbolo dell’intersezione?

[∩.

Esempio: A ∩ B e si legge “A intersezione B” oppure “A intersecato B”.]

4. (B) Come si può esprimere più estesamente in simboli l’intersezione A ∩ B?

[A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}.]

5. (A) Com’è la rappresentazione tramite diagramma di Venn di A ∩ B?

6. (B) L’intersezione di due insiemi A e B può coincidere con uno dei due insiemi?

[Sì, se un insieme è contenuto nell’altro.

Esempio: l’intersezione tra l’insieme A delle vocali, A = {a, e, i, o, u}, e l’insieme B delle lettere della parola “io”, B = {i, o}, coincide con B. In simboli: A ∩ B = B.]

7. (C) Qual è la rappresentazione tramite diagramma di Venn dell’intersezione di due insiemi di cui uno è contenuto nell’altro: A ∩ B = B?

2. INSIEMI DISGIUNTI

8. (A) Come si dicono due insiemi che non hanno alcun elemento in comune?

[Disgiunti.

Esempio: l’insieme delle città italiane e l’insieme delle città spagnole sono due insiemi disgiunti.]

9. (B) Da che cosa è costituita l’intersezione di due insiemi disgiunti?

[Dall’insieme vuoto: A ∩ B = ø.

Esempio: l’intersezione dell’insieme dei pesci e dell’insieme dei mammiferi è l’insieme vuoto perché i due insiemi non hanno elementi comuni (nessun pesce è un mammifero e nessun mammifero è un pesce).]

10. (C) Come si rappresenta tramite diagramma di Venn l’intersezione di due insiemi disgiunti?

3. UNIONE TRA INSIEMI

11. (A) Che cos’è l’insieme unione (o unione di due insiemi)?

[Dati due insiemi A e B, l’insieme unione è l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad A o a B o entrambi.

Esempio: prendiamo gli insiemi A = {8, 9, 10, 11, 12} e B = {11, 12, 13}; l’insieme unione di A e di B è l’insieme C = {8, 9, 10, 11, 12, 13}.]

12. (A) Qual è il simbolo per indicare l’unione di due o più insiemi?

[∪.

Esempio: A ∪ B e si legge “A unione B” oppure “A unito B”.]

13. (B) Come si può esprimere più estesamente in simboli l’unione A ∪ B?

[A ∪ B = {x/x ∈ A o x ∈ B}.]

14. (B) Nell’elencazione degli elementi dell’insieme unione comuni ai due insiemi di partenza, quante volte vanno scritti gli elementi in comune?

[Una sola volta.

Esempio: l’11 e il 12, elementi comuni degli insiemi A = {8, 9, 10, 11, 12} e B = {11, 12, 13, 14, 15}, nell’insieme unione C vanno scritti una sola volta: C = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.]

15. (B) L’insieme unione si può avere tra due insiemi disgiunti o tra due insiemi che si intersecano o tra due insiemi di cui uno è un sottoinsieme proprio dell’altro?

[In tutti e tre i casi.

Esempio di insieme unione tra due insiemi disgiunti: l’insieme unione di A = {8, 9, 10} e B = {13, 14, 15} è l’insieme C = {8, 9, 10, 13, 14, 15}.

Esempio di insieme unione tra due insiemi che si intersecano: l’insieme unione di A = {10, 11, 12, 13, 14, 15} e B = {14, 15, 16, 17} è l’insieme C = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}.

Esempio di insieme unione tra due insiemi di cui uno è un sottoinsieme proprio dell’altro: l’insieme unione di A = {10, 11, 12, 13, 14, 15} e B = {13, 14} è l’insieme C = {10, 11, 12, 13, 14, 15}; in questo caso, come si può vedere, l’insieme A e l’insieme C sono uguali (hanno gli stessi elementi).]

4. DIFFERENZA TRA INSIEMI

16. (A) Che cos’è la differenza tra due insiemi A e B?

[È l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B.

Esempio: prendiamo gli insiemi A = {8, 9, 10, 11, 12} e B = {11, 12, 13, 14, 15}; la differenza tra A e B è l’insieme C = {8, 9, 10}.]

17. (A) Qual è il simbolo per indicare la differenza di due insiemi?

[−.

Esempio: A − B e si legge “A meno B”.]

18. (B) Come si può esprimere più estesamente in simboli la differenza A − B?

[A − B = {x/x ∈ A e x ∉ B}.]

19. (B) Se due insiemi A e B sono disgiunti, in che cosa consiste la differenza A − B?

[Coincide con A, cioè con il primo insieme.]

5. INSIEME COMPLEMENTARE

20. (A) Che cos’è un insieme complementare?

[Se B è un sottoinsieme di A, l’insieme complementare di B rispetto ad A è la differenza insiemistica A − B; in sostanza è costituito da tutti gli elementi di A che non sono elementi di B.

Esempio: se B è l’insieme delle vocali e A è l’insieme di tutte le lettere dell’alfabeto, l’insieme complementare di B è costituito da tutte consonanti.]

21. (B) Con quale simbolo si indica l’insieme complementare di B rispetto ad A?

[Con ${\overline{B}}_A$.]

22. (B) Come si rappresenta con un diagramma di Venn l’insieme complementare?

23. (C) Se B è l’insieme dei Labrador, sottoinsieme dell’insieme A dei cani, qual è l’insieme complementare di B rispetto ad A?

[L’insieme C costituito da tutti i cani che non sono di razza Labrador (mastini, chihuahua, pastori tedeschi…).]

24. (B) Come si indica l’insieme complementare dell’insieme A rispetto all’insieme universo?

[$\overline{A}$.

Esempio l’insieme complementare dei numeri pari P rispetto all’insieme ℕ dei numeri naturali è l’insieme dei numeri dispari D, e si indica così: $\overline{P}$ = D.]