5.6 PRODOTTO CARTESIANO
L’argomento di questo capitolo è già stato in parte affrontato nel capitolo “Prodotto cartesiano e relazioni” della lezione “Insiemi, relazioni, funzioni” di Introduzione all’Algebra.
1. PRODOTTO CARTESIANO
1. (A) Che cos’è una coppia ordinata?
[È una coppia di elementi di uno o più insiemi in cui conta l’ordine in cui tali elementi sono abbinati tra loro.
Esempio: se voglio sapere il risultato di una partita di calcio, non mi basta sapere i gol segnati dalle due squadre, ma devo anche sapere quale squadra ha segnato quanti gol.
Esempio: se la partita Juventus-Milan è stata vinta dalla Juventus per 2-1, non possiamo dire che la partita Juventus-Milan è finita 1-2, ma dobbiamo dire che è finita 2-1.]
2. (A) Come si scrive una coppia ordinata di elementi?
[I due elementi vanno scritti tra parentesi tonde, separati da una virgola o da un punto e virgola, nell’ordine che rispetta la situazione che si vuole rappresentare.
Esempio: (3, 1) nel caso in cui gli elementi siano 3 e 1 e che l’ordine da rispettare sia che viene prima il 3 e poi l’1.]
3. (A) Dati due insiemi A e B, che cos’è il loro prodotto cartesiano?
[L’insieme di tutte le coppie ordinate (x, y) che si ottiene prendendo nell’insieme A il primo elemento della coppia e nell’insieme B il secondo elemento della coppia.]
4. (A) Come si scrive il prodotto cartesiano tra due insiemi A e B?
[A × B.]
5. (B) Come si legge il prodotto cartesiano A × B?
[“A per B” oppure “A cartesiano B”.]
6. (B) Come si esprime in simboli in modo esteso il prodotto cartesiano A × B?
[A × B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}.]
7. (C) Dati gli insiemi A = {1, 2} e B = {a, b, c}, qual è il prodotto cartesiano A × B?
[È l’insieme costituito dalle seguenti coppie ordinate: (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), ovvero: A × B = {(1, a); (1, b); (1, c); (2, a); (2, b); (2, c)}.]
8. (B) Il prodotto cartesiano di due insiemi (A × B) gode della proprietà commutativa?
[No: A × B ≠ B × A.]
9. (B) È possibile eseguire il prodotto cartesiano di un insieme per se stesso, per esempio A × A, dove A = {1, 2}?
[Sì, A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. A × A si può scrivere anche con il simbolo .]
2. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO
10. (B) Come si può rappresentare graficamente un prodotto cartesiano?
[O con un diagramma sagittale o con un diagramma cartesiano o con una tabella a doppia entrata o con una rappresentazione ad albero.]
11. (B) Qual è la rappresentazione del prodotto cartesiano A × B = {(1, a); (1, b); (1, c); (2, a); (2, b); (2, c)} attraverso un diagramma sagittale?
12. (B) Come si può rappresentare il prodotto cartesiano A × B = {(1, a); (1, b); (1, c); (2, a); (2, b); (2, c)} attraverso un diagramma cartesiano?
[Sull’asse delle ascisse si rappresentano gli elementi di A e da essi si tracciano delle semirette parallele all’asse delle ordinate; sull’asse delle ordinate si rappresentano gli elementi di B e da essi si tracciano delle semirette parallele all’asse delle ascisse. Le coppie ordinate del prodotto cartesiano sono rappresentate dai punti di intersezione delle semirette che abbiamo tracciato a partire dai punti rappresentati sull’asse delle ascisse e sull’asse delle ordinate.]
13. (B) Come sono detti i punti di intersezione che rappresentano le coppie ordinate di un prodotto cartesiano in un diagramma cartesiano?
[Nodi.]
14. (B) Qual è la rappresentazione del prodotto cartesiano A × B = {(1, a); (1, b); (1, c); (2, a); (2, b); (2, c)} attraverso una tabella a doppia entrata?
[
Nella prima colonna a sinistra, segniamo, a partire dall’alto, gli elementi di A; nella prima riga in alto, segniamo, a partire da sinistra, gli elementi di B; poi in ogni casella segniamo tra parentesi l’elemento di A corrispondente a tale casella, seguito dall’elemento di B corrispondente a tale casella.]
15. (B) Qual è la rappresentazione ad albero del prodotto cartesiano: A × B = {(1, a); (1, b); (1, c); (2, a); (2, b); (2, c)}?
[
]