5.7 PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI TRA INSIEMI

1. (B) Quali sono in simboli, rispettivamente, la proprietà di idempotenza dell’intersezione e dell’unione?

[Proprietà di idempotenza dell’intersezione: A ∩ A = A; proprietà di idempotenza dell’unione: A ∪ A = A.]

2. (B) L’intersezione tra insiemi gode delle proprietà commutativa e associativa?

[Sì, gode di entrambe le proprietà: A ∩ B = B ∩ A (proprietà commutativa); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (proprietà associativa).]

3. (B) L’unione di insiemi gode delle proprietà commutativa e associativa?

[Sì, gode di entrambe le proprietà: A ∪ B = B ∪ A (proprietà commutativa); (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (proprietà associativa).]

4. (B) L’intersezione e l’unione di insiemi godono della proprietà distributiva?

[Sì, l’intersezione gode della proprietà distributiva rispetto all’unione: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); l’unione gode della proprietà distributiva rispetto all’intersezione: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).]

5. (B) Qual è, in simboli, la legge di assorbimento dell’intersezione?

[A ∩ (A ∪ B) = A.]

6. (B) Qual è, in simboli, la legge di assorbimento dell’unione?

[A ∪ (A ∩ B) = A.]

7. (C) Che cosa affermano, rispettivamente, la proprietà complementare dell’intersezione e la proprietà complementare dell’unione?

[Proprietà complementare dell’intersezione: A ∩ $\overline{A}$ = ø; proprietà complementare dell’unione: A ∪ $\overline{A}$ = U.]

8. (B) Che cosa afferma la prima legge di De Morgan?

[$\overline{A\cup B}$ = $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$: in un insieme universo U il complementare dell’unione di due insiemi A e B è uguale all’intersezione tra il complementare di A e quello di B. Se a ∈ $\overline{A\cup B}$, allora a non appartiene né ad A né a B, cioè a ∈ $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$.]

9. (B) Che cosa afferma la seconda legge di De Morgan?

[$\overline{A\cap B}$ = $\overline{A}$ ∪ $\overline{B}$: in un insieme universo U il complementare dell’intersezione di due insiemi A e B è uguale all’unione tra il complementare di A e quello di B. Se un elemento a appartiene a $\overline{A\cap B}$, allora si dà uno dei tre seguenti casi: o a appartiene a $\overline{A}$ ma non a $\overline{B}$ (come a₁ in figura) oppure appartiene a $\overline{B}$ ma non a $\overline{A}$ (come a₂ in figura), oppure appartiene sia a $\overline{A}$ che a $\overline{B}$ (come a₃ in figura). Se ne deduce che a è un elemento di $\overline{A}$ ∪ $\overline{B}$.]