6.4 DISGIUNZIONE INCLUSIVA E ESCLUSIVA
1. DISGIUNZIONE INCLUSIVA
1. (A) Qual è il connettivo della disgiunzione inclusiva?
[˅, detto “o inclusivo”. In inglese, “disgiunzione inclusiva” è inclusive disjunction.]
2. (A) Come si legge “p ˅ q”?
[“p o q”.]
3. (A) A che cosa “corrisponde” nella lingua italiana la disgiunzione inclusiva?
[Alla congiunzione “o” che indica delle possibilità che non si escludono a vicenda e non alla congiunzione “o” che indica una alternativa secca.
Esempio di “o” che indica una tripla possibilità: “n è un numero primo o è maggiore di 17”: la proposizione è vera in tre tipi di situazioni (a) quando n è un numero primo inferiore o uguale a 17 (per esempio, 13); (b) quando è un numero maggiore di 17 ma non è un numero primo (per esempio, 18); (c) quando è un numero primo e, allo stesso tempo, è un numero maggiore di 17 (per esempio 19).
Esempio di “o” che indica una alternativa: “Un numero naturale è pari o dispari”.]
4. (A) Quand’è che una disgiunzione inclusiva è vera?
[Quando almeno una delle due proposizioni semplici che la compongono è vera: cioè sia quando una sola delle due proposizione componenti è vera sia anche quando sono vere entrambe.]
5. (A) Qual è la tavola di verità della disgiunzione inclusiva?
[
]
6. (B) Quali delle seguenti proposizioni composte sono disgiunzioni inclusive vere: “Il gatto è un mammifero o il gatto è un felino”, “Il gatto è un mammifero o il gatto è un rettile”, “Il gatto è un pesce o il gatto è un mammifero”, “Il gatto è un pesce o il gatto è un rettile”?
[Sono disgiunzioni inclusive vere: “Il gatto è un mammifero o il gatto è un felino” (perché composta da due proposizioni semplici vere); “Il gatto è un mammifero o il gatto è un rettile” (perché composta da una proposizione semplice vera e da una falsa); “Il gatto è un pesce o il gatto è un mammifero” (perché composta da una proposizione semplice falsa e da una vera). Non è una disgiunzione inclusiva vera: “Il gatto è un pesce o il gatto è un rettile”, perché è una proposizione composta da due proposizioni semplici entrambe false.]
7. (C) Consideriamo due proposizioni semplici che, unite dalla disgiunzione inclusiva, danno luogo ad una terza proposizione con un certo valore di verità; se vengono scambiate di posto, il valore di verità della proposizione composta cambia?
[No, come nel caso della congiunzione. È una proprietà simile alla proprietà commutativa della somma e della moltiplicazione in aritmetica.
Esempio: se la disgiunzione inclusiva “Daniele mangia un panino o beve una birra” è vera, è vera anche la disgiunzione inclusiva “Daniele beve una birra o mangia un panino” (lo stesso ragionamento vale nel caso in cui il valore di verità sia falso).]
8. (B) Nella teoria degli insiemi, a che cosa corrisponde la disgiunzione inclusiva?
[All’unione di due insiemi (o insieme unione).
Esempio: consideriamo le proposizioni p = “n è un numero naturale minore di 8” e q = “n è un numero naturale maggiore di 5” e la loro disgiunzione inclusiva p ˅ q = “n è un numero naturale minore di 8 o maggiore di 5”.]
2. DISGIUNZIONE ESCLUSIVA
9. (B) Qual è il connettivo della disgiunzione esclusiva?
[˅ oppure ˙˅, ed è detto “o esclusivo”. In inglese, “disgiunzione esclusiva” è exclusive disjunction.]
10. (B) Come si legge “p ˙˅ q”?
[“o p o q” oppure “p aut q”.
Attenzione:
non confondere “p ˙˅ q” con “p ˅ q” che si legge “p o q”.
Esempio: “un numero naturale o è pari o dispari” (disgiunzione esclusiva) significa che un numero naturale non può essere insieme pari e dispari.]
11. (A) A che cosa corrisponde nella lingua italiana la disgiunzione esclusiva della logica?
[Alla congiunzione “o” che indica una alternativa secca.
Esempi: “sabato prossimo vado a Milano o in macchina o in treno”: ciò dicendo, escludo che sabato prossimo io vada a Milano sia in macchina che in treno. È diverso dal caso della “o” inclusiva, che non esclude entrambe le possibilità: “Tutte le settimane vado a Milano o in macchina o in treno”.]
12. (A) Quando è vera la proposizione composta detta disgiunzione esclusiva?
[Quando una delle due proposizioni è vera e l’altra è falsa.
Esempio: “A quest’ora il negozio è ancora aperto oppure è già chiuso” se è vera la proposizione componente “il negozio è ancora aperto”, è falsa la proposizione componente “il negozio è già chiuso” e viceversa: se è falsa la prima, è vera la seconda.]
13. (A) Qual è la tavola di verità della disgiunzione esclusiva?
[
]
14. (B) Quali delle seguenti proposizioni composte sono disgiunzioni esclusive vere: “O il gatto è un mammifero o il gatto è un felino”, “O il gatto è un mammifero o il gatto è un rettile”, “O il gatto è un pesce o il gatto è un mammifero”, “O il gatto è un pesce o il gatto è un rettile”?
[Sono disgiunzioni esclusive vere: “O il gatto è un mammifero o il gatto è un rettile” (perché composta da una proposizione semplice vera e da una falsa), “O il gatto è un pesce o il gatto è un mammifero” (perché composta da una proposizione semplice falsa e da una vera). Non è una disgiunzione esclusiva vera “O il gatto è un mammifero o il gatto è un felino” perché è una proposizione composta da due proposizioni semplici entrambe vere. Non è una disgiunzione esclusiva vera “Il gatto è un pesce o il gatto è un rettile”, perché è una proposizione composta da due proposizioni semplici entrambe false.]
15. (B) Nella teoria degli insiemi, a che cosa corrisponde la disgiunzione esclusiva?
[All’insieme unione meno l’insieme intersezione.
Esempio: consideriamo le proposizioni p = “Marco lavora” e q = “Marco si gingilla su Internet” e la loro disgiunzione esclusiva p ˙˅ q = “Marco lavora o si gingilla su Internet” che è vera se Marco non appartiene a coloro che contemporaneamente lavorano e si gingillano su Internet.]
3. DISGIUNZIONE INCLUSIVA E ESCLUSIVA A CONFRONTO
16. (C) Nella lingua latina, i due tipi di disgiunzione logica (inclusiva e esclusiva) sono indicati con due parole diverse, quali?
[La disgiunzione inclusiva con vel; la disgiunzione esclusiva con aut.]
17. (C) Qual è un espediente della lingua italiana per distinguere la “o” esclusiva da quella inclusiva?
[Usare l’espressione “e/o” invece di “o” per la disgiunzione inclusiva.]