6.6 IMPLICAZIONE E DOPPIA IMPLICAZIONE

1. IMPLICAZIONE

1. (A) Qual è il connettivo dell’implicazione logica?

[→, ed è detto “se… allora…” o “implicazione” (come la proposizione composta che va a formare).]

2. (A) Come si legge “p → q”?

[“Se p allora q” oppure “p implica q”.]

3. (A) Che cos’è l’implicazione logica (intesa come proposizione composta)?

[Una proposizione composta, in cui nella prima proposizione componente si afferma una condizione, e nella seconda le conseguenze che hanno luogo se questa condizione viene soddisfatta. Implicazione è chiamato sia il connettivo sia la proposizione composta che ne deriva. Esempi: “Se piove allora sto in casa”; “Se n è un numero primo diverso da 2, allora è dispari”. In inglese, “implicazione” è implication.]

4. (A) Come viene anche chiamata l’implicazione logica?

[Condizionale o implicazione materiale.]

5. (A) In una implicazione, come sono chiamate, rispettivamente, la proposizione che precede il simbolo → e quella che lo segue?

[Quella che lo precede “antecedente” (o “premessa”), quella che lo segue “conseguente”: in p → q, p è l’antecedente, q è il conseguente.]

6. (C) Nel linguaggio comune una frase che corrisponde ad un’implicazione logica viene sempre espressa con “se… allora”?

7. (A) Qual è la tavola di verità dell’implicazione logica?

[

È da notare che un’implicazione è vera non soltanto quando sono veri sia l’antecedente che il conseguente, ma anche quando è falso l’antecedente, a prescindere dal fatto che il conseguente sia vero o falso. Esempio 1: “Se 3 è un numero primo, allora Roma è la capitale d’Italia” è un’implicazione vera perché è composta da due proposizioni entrambe vere anche se non c’entrano niente l’una con l’altra. Esempio 2: “Se 3 è un numero primo, allora Londra è la capitale d’Italia” è un’implicazione falsa perché l’antecedente è vero e il conseguente è falso. Esempio 3: “Se 3 è un numero pari, allora Roma è la capitale d’Italia” è un’implicazione vera perché l’antecedente è falso e il conseguente è vero. Esempio 4: “Se 3 è un numero pari, allora Londra è la capitale d’Italia” è un’implicazione vera perché sia l’antecedente che il conseguente sono falsi.]

8. (C) Perché l’implicazione logica è vera non soltanto quando l’antecedente e il conseguente sono veri, ma anche quando l’antecedente è falso, a prescindere dal fatto che il conseguente sia vero o falso?

[Perché l’implicazione non ci dà informazioni su che cosa succede se la condizione posta nell’antecedente non si verifica, quindi se la situazione dell’antecedente non si verifica (antecedente falso), può succedere sia che si verifichi la situazione descritta nel conseguente (conseguente vero) sia che non si verifichi (conseguente falso). Esempio: consideriamo le proposizioni p = “i nemici usano l’arma segreta” e q = “i nemici vincono la guerra”. E ora consideriamo l’implicazione p → q: “Se i nemici usano l’arma segreta, allora vincono la guerra”. Se sia l’antecedente che il conseguente sono veri, allora vuol dire che abbiamo effettuato un’affermazione complessivamente vera. Tuttavia, se l’antecedente p è falso (cioè se i nemici non usano l’arma segreta), non possiamo avere informazioni sul conseguente q: può succedere sia che i nemici vincano la guerra (conseguente vero) sia che non vincano la guerra (conseguente falso).]

9. (B) Se l’implicazione p → q è vera, è vera anche l’implicazione q → p?

[Non necessariamente. Esempio: l’implicazione “Se F è un quadrato, allora è un quadrilatero” è vera, mentre “Se F è un quadrilatero, allora è un quadrato” è falsa (infatti se F è un quadrilatero non è detto che sia un quadrato, potrebbe essere un rettangolo, un parallelogramma, un trapezio…). Quando sia p → q che q → p sono vere, si ha una doppia implicazione (vedi paragrafo successivo).]

10. (B) Nella teoria degli insiemi, a che cosa corrisponde l’implicazione logica?

[Al sottoinsieme di un insieme dato. Esempio: “Se Socrate è ateniese, allora è greco” l’implicazione è vera solo se Socrate appartiene all’insieme A degli ateniesi, incluso nell’insieme B dei greci.]

2. DOPPIA IMPLICAZIONE

11. (A) Che cos’è una doppia implicazione?

[È un’implicazione reversibile, cioè un’implicazione che è vera anche nell’altro senso: p → q, ma anche q → p. Esempio: “Tutti i triangoli sono trilateri” e “Tutti i trilateri sono triangoli”, cioè tutti i triangoli sono poligoni con tre lati e, viceversa, tutti i poligoni con tre lati sono triangoli.]

12. (B) Da ogni implicazione è possibile ricavare una doppia implicazione?

[No, solo dalle implicazioni reversibili. Come abbiamo già detto, se l’implicazione p → q è vera, non è necessariamente vera anche l’implicazione q → p. Esempio: “Se un animale è un gatto allora è un mammifero” è vera ma “Se un animale è un mammifero allora è un gatto” è falsa perché tra i mammiferi ci sono anche i cani, i cavalli, i maiali, i leoni, le zebre…]

13. (A) Com’è anche detta la doppia implicazione?

[Equivalenza o bicondizionale.]

14. (A) Qual è il connettivo della doppia implicazione?

[↔.]

15. (A) Come si legge “p ↔ q”?

[“p se e solo se q” oppure “p coimplica q” oppure “se p allora q e viceversa”.]

16. (A) Quand’è che una doppia implicazione è vera?

[Quando le due proposizioni p e q hanno lo stesso valore di verità, cioè sono entrambe vere o entrambe false. Esempio: “Se un numero è divisibile per 2 allora è un numero pari e viceversa”.]

17. (A) Qual è la tavola di verità della doppia implicazione?

[

]

18. (C) Qual è la doppia implicazione che si ottiene unendo l’implicazione p = “Se x è un triangolo, allora è un trilatero” con l’implicazione q = “se x è un trilatero, allora è un triangolo”?

[“x è un triangolo se e soltanto se è un trilatero”.]