6.7 ESPRESSIONI LOGICHE E FORMULE PROPOSIZIONALI

1. ESPRESSIONI LOGICHE

1. (A) Che cosa sono le espressioni logiche?

[Sono delle proposizioni complesse che si ottengono connettendo più di due proposizioni semplici o più proposizioni composte attraverso i connettivi logici. Esempio 1: p ˄ q ˅ r. Esempio 2: p → ¬ q. Esempio 3: p ˅ (q ˄ ¬ r).]

2. (A) Se in una espressione logica ci sono delle parentesi, qual è l’ordine di precedenza tra di esse?

[Quello dell’espressioni numeriche: prima tonde, poi quadre, infine graffe.]

3. (A) Se in un’espressione logica non ci sono parentesi, qual è l’ordine di precedenza dei connettivi logici?

[¬, ˄, ˅, →, ↔.]

4. (B) Qual è il valore di verità dell’espressione logica (p ˄ q) → r, dove p: “4 è un divisore di 12”, q: “5 è un numero pari”, r: “18 è un multiplo di 6”?

[Vero. Infatti, poiché p è vera e q è falsa, la congiunzione (p ˄ q) è falsa, mentre l’implicazione (p ˄ q) → r è vera perché l’antecedente (p ˄ q) è falso e il conseguente (r) è vero.]

2. FORMULE PROPOSIZIONALI

5. (A) Come viene definita la “proposizione” p quando non è nota, cioè quando non si conosce la proposizione che corrisponde al simbolo p?

[Variabile proposizionale.]

6. (B) Come vengono definite le espressioni logiche quando sono costituite da variabili proposizionali anziché da proposizioni note?

[Formule proposizionali. Di una formula proposizionale non è possibile stabilire il valore di verità, ma solo la tavola di verità.]

7. (B) Qual è la tavola di verità della seguente formula proposizionale: p ˄ ¬ q?

[

p	q	¬ q	p ˄ ¬ q
V	V	F	F
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	V	F

]

8. (B) Qual è la tavola di verità della seguente espressione logica: p ˅ ¬ q?

[

p	q	¬ q	p ˅ ¬ q
V	V	F	V
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	V	V

]

3. FORMULE PROPOSIZIONALI EQUIVALENTI

9. (A) Quand’è che due formule proposizionali che hanno le stesse variabili proposizionali (o, più in generale, due espressioni logiche) sono equivalenti?

[Quando i valori di verità dell’una sono uguali ai valori di verità dell’altra. Esempio: p e ¬ ¬p sono equivalenti, infatti se p è vera anche ¬ ¬p è vera, e se p è falsa anche ¬ ¬p è falsa.]

10. (B) A quale proposizione composta è equivalente la formula proposizionale p ˅ q?

[È equivalente a p → q. Basta confrontare le tavole di verità per rendersene conto:

p	q	p	p ˅ q
V	V	F	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

]

11. (C) A che cosa è equivalente l’espressione logica: (p ˄ q) ˅ p?

[A p. Per rendersene conto, basta confrontare gli stati di verità di p e confrontarli con quelli di (p ˄ q) ˅ p e constatare che coincidono:

p	q	p ˄ q	(p ˄ q) ˅ p
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	F
F	F	F	F

]

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