8.8 PROPORZIONALITÀ INVERSA

1. (A) Quand’è che due variabili x e y sono inversamente proporzionali?

[Quando il loro prodotto è costante (cioè si mantiene costante al variare di x e conseguentemente di y). In formula: xy = k.

Esempio: il prodotto delle seguenti moltiplicazioni è costante (è sempre 12): 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4 = 4 × 3 = 12.]

2. (A) Affinché il prodotto di due variabili x e y si mantenga costante, che cosa succede a y quando x raddoppia oppure si dimezza o triplica o si riduce a un terzo…?

[Quando x raddoppia, y si dimezza; quando x si dimezza, y raddoppia; quando x triplica, y si riduce a un terzo; quando x si riduce a un terzo, y triplica…

Esempio: Marta vuol fare un regalo che costa 90 € a una sua amica. Se lo fa da sola, deve sborsare l’intera cifra (90 €). Se, invece, coinvolge Elisa, la quota da pagare per ciascuna delle due si dimezza e diventa di 45 € a testa. Se coinvolge, oltre ad Elisa, anche Francesca, la quota che ciascuna delle tre deve sborsare si riduce a $\frac{1}{3}$ del totale e quindi diventa di 30 € a testa… Se indichiamo con x il numero dei partecipanti alla spesa e con y la quota che ciascuno deve pagare, abbiamo:

]

3. (A) Quand’è che una funzione con due variabili x e y è detta di proporzionalità inversa?

[Quando il prodotto xy è una costante: xy = k, dove k indica una costante.]

4. (A) Qual è l’espressione analitica di una funzione di proporzionalità inversa?

[$y=\frac{k}{x}$, dove k è una costante.]

5. (B) A che numero corrisponde la costante k dell’espressione analitica di una funzione di proporzionalità inversa: $y=\frac{k}{x}$?

[Varia a seconda della funzione di proporzionalità inversa, ma comunque si tratta sempre di un numero reale, diverso da 0.]

6. (A) Com’è il grafico di una funzione di proporzionalità inversa?

[È una iperbole equilatera, ovvero una curva costituita da due rami separati.]

7. (B) Che cosa rappresenta graficamente ogni punto dell’iperbole equilatera che è il grafico della funzione di proporzionalità inversa?

[Un vertice di un rettangolo che ha il vertice opposto nell’origine degli assi cartesiani.]

8. (B) Come sono le aree dei rettangoli che hanno un vertice in un punto dell’iperbole equilatera che rappresenta il grafico della funzione di proporzionalità inversa e il vertice opposto nell’origine degli assi cartesiani?

[Tutte uguali.]

9. (B) Perché le aree dei rettangoli che hanno un vertice in un punto dell’iperbole equilatera che rappresenta il grafico della funzione di proporzionalità inversa e il vertice opposto nell’origine degli assi cartesiani sono tutte uguali?

[Perché la base e l’altezza di tali rettangoli coincidono con le coordinate (x, y) del punto dell’iperbole e, nel caso della funzione di proporzionalità inversa, il loro prodotto è costante. E infatti l’area di ognuno di quei rettangoli è uguale alla costante k.]