1.10 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI (O FATTORIZZAZIONE)
1. (A) Che cosa afferma il teorema fondamentale dell’aritmetica?
[Che qualsiasi numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o è il prodotto di numeri primi.]
2. (B) In base al teorema fondamentale dell’aritmetica, quali numeri composti (cioè numeri che non sono primi) sono il prodotto di numeri primi?
[Tutti.
Esempio 1: 6 è il prodotto di 2 e 3 che sono entrambi numeri primi.
Esempio 2: 8 può essere definito come il prodotto di 2 e 4, ma 4, pur non essendo un numero primo, può, a sua volta, essere scomposto in due fattori che sono ciascuno un numero primo: 4 = 2 × 2. Pertanto 8, scomposto in fattori che sono numeri primi, è 8 = 2 × 2 × 2, o anche 8 = .]
3. (A) Com’è anche detta la scomposizione di un numero composto in numeri primi?
[Fattorizzazione. La fattorizzazione consiste quindi nello scrivere un numero come prodotto di fattori che sono tutti numeri primi.
Esempio: la fattorizzazione di 15 è 15 = 3 ⋅ 5.]
4. (C) Qual è la fattorizzazione di 12?
[2 × 2 × 3. Non lo sono invece 4 × 3 o 6 × 2 perché 4 e 6 non sono numeri primi.]
5. (B) Quante scomposizioni in fattori primi può avere un numero composto?
[Una sola.
Esempio: 12 può essere scomposto in fattori primi o partendo da 4 × 3 oppure partendo da 2 × 6, ma, in entrambi i casi, si arriva allo stesso risultato: i fattori primi in cui, in ultima analisi, è scomponibile sono 2, 2 e 3. Infatti, se si scompone il 12 in 4 × 3, il 4 a sua volta, deve essere scomposto in due fattori primi: 2 × 2. Il risultato, quindi, è che 12 è il prodotto di 2 × 2 × 3. Se, invece, si scompone il 12 in 2 × 6, il 6, a sua volta, deve essere scomposto nei due fattori primi: 2 × 3. Anche in questo caso, quindi, il risultato è che 12 è il prodotto di 2 × 2 × 3, esattamente come nel caso della prima procedura.]
6. (C) Quali sono i fattori primi in cui si può scomporre il numero 36 e come ci si può arrivare?
[2, 2, 3, 3 e ci si può arrivare partendo da una delle tre seguenti scomposizioni: 6 × 6 oppure 4 × 9 oppure 12 × 3. Se scomponiamo il 36 in 6 × 6, poi bisogna scomporre ciascuno dei due fattori nei suoi fattori primi: 2 × 3. Quindi si arriva a: (2 × 3) × (2 × 3). Se, invece, scomponiamo il 36 in 4 × 9, poi bisogna scomporre il 4 nei suoi fattori primi 2 × 2 e il 9 nei suoi fattori primi: 3 × 3. Quindi, si arriva allo stesso risultato del caso precedente (l’ordine dei fattori ovviamente è indifferente): (2 × 2) × (3 × 3). Se, infine, scomponiamo il 36 in 12 × 3, poi bisogna scomporre il 12 nei suoi fattori 3 × 4. Di essi il 3 è un numero primo, il 4, invece, è un numero composto che va, a sua volta, scomposto nei suoi fattori primi: 2 × 2. Quindi anche scomponendo il 36 in 12 × 3, si arriva allo stesso prodotto di numeri primi: 3 × 2 × 2 × 3.]
7. (C) Come si può rappresentare graficamente la scomposizione di un numero in fattori primi?
[Utilizzando uno schema chiamato grafo ad albero.]
8. (B) Esiste una regola, un metodo per scomporre in fattori primi un qualsiasi numero composto?
[Sì, è un procedimento chiamato “per divisioni successive”. È particolarmente utile per la fattorizzazione di numeri grandi (da tre cifre in su), per i quali sarebbe altrimenti difficile trovare i fattori primi a cui essi sono riducibili.]
9. (A) In che cosa consiste il procedimento “per divisioni successive” per la fattorizzazione (scomposizione in numeri primi) di un numero (che chiameremo x per comodità)?
[Si traccia una linea verticale a destra di x; a destra della linea si scrive il più piccolo divisore primo di x; sotto x si scrive il quoziente q di tale divisione; sotto il divisore primo di x si scrive il più piccolo divisore primo per il quale q è divisibile; e così di seguito.
Esempio: come possiamo vedere in figura, i fattori primi di 264 sono 2, 2, 2, 3, 11; quindi 2 × 2 × 2 × 3 × 11 = 264 (possiamo riscrivere la moltiplicazione così: × 3 × 11 = 264).]
10. (B) Quand’è che il procedimento “per divisioni successive” per la fattorizzazione (scomposizione in numeri primi) di un numero finisce?
[Quando si ottiene come quoziente un numero primo, allora si divide tale numero primo per se stesso, ottenendo come quoziente finale 1.
In conclusione, i fattori primi di 264 sono 2, 2, 2, 3, 11; quindi 2 × 2 × 2 × 3 × 11 = 264. Possiamo riscrivere la moltiplicazione così: × 3 × 11 = 264.]
11. (B) Come si fa a controllare se i fattori primi di un numero che si sono ottenuti “per divisioni successive” sono quelli giusti?
[Basta moltiplicare tali fattori primi tra loro: se il prodotto che si ottiene è identico al numero che si è fattorizzato, allora la scomposizione in fattori primi è corretta.
Esempio: abbiamo trovato che i fattori primi di 264 sono 2, 2, 2, 3, 11. Li moltiplichiamo tra loro: 2 × 2 × 2 × 3 × 11 e otteniamo 264, quindi la fattorizzazione è corretta. Conviene riscrivere la moltiplicazione così: × 3 × 11 = 264.]
12. (C) Quali sono i fattori primi di 210?
[2, 3, 5, 7.
]