1.11 MASSIMO COMUNE DIVISORE E MINIMO COMUNE MULTIPLO

Questo capitolo riprende e approfondisce i temi trattati nel capitolo omonimo della lezione “Divisibilità” del corso Aritmetica I.

1. MASSIMO COMUNE DIVISORE

1. (A) Che cos’è il massimo comune divisore (MCD) tra due o più numeri naturali diversi da 0?

[È il più grande divisore che tali numeri hanno in comune, cioè il più grande numero per il quale entrambi sono divisibili.

Esempio: il massimo comune divisore fra 12 e 18 è 6. Infatti i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12; mentre i divisori di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9, 18; quindi i divisori comuni tra 12 e 18 sono 1, 2, 3, 6 e tra essi il maggiore è 6.]

2. (B) Due numeri qualsiasi hanno sempre un comune divisore?

[Sì, perché come minimo sono divisibili per 1 entrambi.]

3. (B) Qual è il massimo comune divisore di due numeri, uno dei quali è multiplo dell’altro?

[Il minore dei due.

Esempio 1: il massimo comune divisore di 6 e di 30 è 6.

Esempio 2: il massimo comune divisore tra 4 e 20 è 4.

Esempio 3: il massimo comune divisore tra 5 e 20 è 5.]

4. (C) Qual è il massimo comune divisore (MCD) tra 24 e 30?

[6. Infatti i divisori di 24 sono: 1, 2, 3, 6, 12, 24; i divisori di 30 sono: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Come si può vedere, 24 e 30 hanno in comune i divisori 1, 2, 3, 6 e il più grande è 6.]

5. (B) Come si può definire il massimo comune divisore (MCD) di due numeri naturali, diversi da 0, in termini di numeri primi?

[Come il prodotto dei loro fattori primi comuni, ciascuno considerato una sola volta e con l’esponente più piccolo.

Esempio: vogliamo conoscere il massimo comune divisore di 12 e 30 attraverso il prodotto dei loro fattori primi comuni. 12, scomposto in fattori primi, è 12 = $2^2$ × 3; 30, scomposto in fattori primi, è 30 = 2 × 3 × 5. I fattori primi che essi hanno in comune, considerati con l’esponente più piccolo, sono 2 e 3. Il loro prodotto è 6: infatti 2 × 3 = 6. Quindi 6 è il massimo comune divisore di 12 e 30. Lo possiamo verificare anche confrontando i divisori di entrambi questi numeri: i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12; i divisori di 30 sono 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (abbiamo sottolineato i divisori comuni ed evidenziato in grassetto quello più grande). Come si può vedere, il divisore più grande che essi hanno in comune è 6.]

2. MINIMO COMUNE MULTIPLO

6. (A) Che cos’è il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più numeri naturali?

[È il più piccolo tra i loro multipli comuni (escluso lo 0). Ricordiamo che un multiplo di un numero n è il prodotto di n per un numero naturale.

Esempio: il minimo comune multiplo tra 6 e 9 è 18; infatti i multipli di 6 sono: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36…; i multipli di 9 sono: 0, 9, 18, 36, 45… Come si può vedere, il più piccolo multiplo che 6 e 9 hanno in comune (a parte lo zero) è 18.]

7. (C) Qual è il minimo comune multiplo tra 12 e 15?

[60. Infatti i multipli di 12 sono: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72…; i multipli di 15 sono: 0, 15, 30, 45, 60, 75… Come si può vedere, il più piccolo multiplo in comune tra 12 e 15 (a parte lo zero) è 60.]

8. (C) Quanti sono i multipli comuni tra due o più numeri naturali?

[Infiniti, e infatti non è possibile trovare il più grande ma è possibile trovare il più piccolo (il cosiddetto minimo comune multiplo).]

9. (B) Come si fa a rappresentare i multipli comuni tra due numeri, per esempio tra 6 e 9, con un diagramma di Venn?

[Si individua l’insieme intersezione:

]

10. (B) Come si può definire il minimo comune multiplo (mcm) di due numeri in termini di numeri primi?

[Come il prodotto di tutti i loro fattori primi, comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente.

Esempio: vogliamo conoscere il mcm di 12 e 30 attraverso il prodotto dei loro fattori primi comuni e non comuni presi una sola volta e con l’esponente più grande. 12, scomposto in fattori primi, è 12 = $2^2$ × 3; 30, scomposto in fattori primi, è 30 = 2 × 3 × 5. I fattori primi comuni e non comuni, considerati con l’esponente più grande, sono $2^2$, 3 e 5. Il loro prodotto è 60: infatti $2^2$ × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60. Quindi 60 è il minimo comune multiplo di 12 e 30. Lo possiamo verificare anche confrontando i multipli di entrambi questi numeri: i multipli di 12 sono 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132…; i multipli di 30 sono: 0, 30, 60, 90, 120, 150… (abbiamo sottolineato i multipli comuni ed evidenziato in grassetto quello più piccolo). Come si può vedere, il multiplo più piccolo che essi hanno in comune è 60.]

11. (B) Qual è il minimo comune multiplo di due numeri che sono uno multiplo dell’altro?

[Il maggiore dei due. Infatti, il maggiore dei due è multiplo dell’altro ed è anche il minore multiplo di se stesso, a parte lo zero.

Esempio: il minimo comune multiplo fra 3 e 12 è 12, che è multiplo di 3 (3 × 4 = 12) ed è multiplo di se stesso (12 × 1 = 12).]

12. (C) Qual è il minimo comune multiplo tra 6 e 18?

[18. A tale risultato si può arrivare constatando che 18 è un multiplo di 6 e quindi è anche il minimo comune multiplo tra i due.]

3. IL LEGAME TRA MASSIMO COMUNE DIVISORE (MCD) E MINIMO COMUNE MULTIPLO (mcm)

13. (B) Qual è il legame tra due numeri naturali a e b e il loro massimo comune divisore (MCD) e minimo comune multiplo (mcm)?

[Il prodotto di a e b è uguale al prodotto del loro MCD per il loro mcm: a ⋅ b = MCD(a, b) ⋅ mcm(a, b).

Esempio 1: se a e b sono, rispettivamente, 6 e 9, il loro MCD è 3, il loro mcm 18. Quindi il prodotto di 6 per 9 è uguale al prodotto di 3 per 18: 6 × 9 = 3 × 18. Infatti il risultato di entrambe le moltiplicazioni è 54.

Esempio 2: se a e b sono, rispettivamente, 12 e 30, il loro MCD è 6, il loro mcm 60. Quindi il prodotto di 12 per 30 è uguale al prodotto di 6 per 60: 12 × 30 = 6 × 60. Infatti il risultato di entrambe le moltiplicazioni è 360.]

14. (C) Come possiamo ricavare il minimo comune multiplo (mcm) di due numeri a e b, a partire da loro massimo comune divisore (MCD)?

[Dividendo il prodotto di tali numeri per il loro massimo comune divisore:

$$\mathrm{mcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\mathrm{MCD}(a,b)}$$

Esempio: se a e b sono, rispettivamente, 12 e 30, il loro MCD è 6. Quindi per ricavare il minimo comune multiplo, basta dividere il prodotto di 12 per 30 per il MCD 6:

$$\mathrm{mcm}(12,30)=\frac{12\cdot 30}{6}$$

Abbiamo:

$$\frac{12\cdot 30}{6}=\frac{360}{6}=60$$

In effetti 60 è il minimo comune multiplo (mcm) di 12 e 30.]

15. (C) Come possiamo ricavare il massimo comune divisore (MCD) di due numeri a e b, a partire dal loro minimo comune multiplo (mcm)?

[Dividendo il prodotto di tali numeri per il loro minimo comune multiplo (mcm):

$$\mathrm{MCD}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\mathrm{mcm}(a,b)}$$

Esempio: se a e b sono, rispettivamente, 12 e 30, il loro mcm è 60. Quindi per ricavare il massimo comune divisore, basta dividere il prodotto di 12 per 30 per il mcm 60:

$$\mathrm{MCD}(12,30)=\frac{12\cdot 30}{60}$$

Abbiamo:

$$\frac{12\cdot 30}{60}=\frac{360}{60}=6$$

In effetti 6 è il massimo comune divisore (MCD) di 12 e 30.]