14.5 DISEQUAZIONI EQUIVALENTI E PRINCIPI DI EQUIVALENZA

1. DISEQUAZIONI EQUIVALENTI

1. (A) Che cosa sono due disequazioni equivalenti?

[Sono due disequazioni definite nello stesso insieme numerico (cioè aventi lo stesso dominio) che hanno lo stesso insieme di soluzioni. Esempio: x + 1 < 5 e x < 4, entrambe definite in ℝ, sono equivalenti perché sono soddisfatte per tutti i valori di x minori di 4. Per esempio, se al posto di x mettiamo in entrambe le disequazioni 3,99 oppure 3,5 oppure 3 oppure 2 oppure 1 oppure 0 oppure −1… (o qualsiasi altro numero reale inferiore a 4) entrambe le disequazioni sono vere.]

2. (A) Come si fa a risolvere una disequazione?

[La si trasforma in disequazioni ad essa equivalenti sempre più semplici attraverso i principi di equivalenza delle disequazioni.]

2. PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DELLE DISEQUAZIONI

3. (A) Che cosa afferma il primo principio di equivalenza delle disequazioni?

[Aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione un numero reale o un’espressione algebrica che abbia significato nello stesso insieme di definizione, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Esempio: la disequazione 2x − 5 > x + 3 è equivalente alla disequazione x − 5 > + 3 che si ottiene aggiungendo −x a entrambi i membri della disequazione data. Infatti, se, per esempio, sostituiamo 9 (o 10 o 11…) a x in entrambe le disequazioni, entrambe le disequazioni sono vere. Se, invece, sostituiamo 8 (o 7 o 6…) a x in entrambe le disequazioni, entrambe le disequazioni diventano false.]

4. (B) Dal primo principio di equivalenza delle disequazioni quali regole si possono ricavare? [

5. (A) Che cosa afferma la regola del trasporto delle disequazioni?

[Che un termine di una disequazione può essere trasportato da un membro all’altro cambiandogli il segno. Esempio: 2x − 5 > x + 3 applicando la regola del trasporto può diventare 2x − x > +5 + 3.]

6. (A) Che cosa afferma la regola di cancellazione delle disequazioni?

[Che un termine presente in entrambi i membri può essere cancellato (senza cambiare il verso). Esempio: per la regola di cancellazione da 2x − 5 + 4 > x + 3 + 4 segue 2x − 5 > x + 3 (abbiamo cancellato il termine +4 presente in entrambi i membri).]

3. SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DELLE DISEQUAZIONI

7. (A) Che cosa afferma il secondo principio di equivalenza delle disequazioni?

[Moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero reale, si ottiene una disequazione equivalente e dello stesso verso se tale numero è positivo, mentre si ottiene una disequazione equivalente ma di verso opposto se tale numero è negativo. Attenzione: il numero reale per il quale entrambi i membri della disequazione vengono moltiplicati o divisi deve essere diverso da 0. Esempio: 2x − 5 > x + 3 è equivalente a +4 ⋅ (2x − 5) > +4 ⋅ (x + 3) ed è equivalente anche a −4 ⋅ (2x − 5) < −4 ⋅ (x + 3). Attenzione: nel primo caso (+4) il verso della disequazione è rimasto lo stesso (cioè il segno > è rimasto >); nel secondo caso (−4) il verso della disequazione è diventato opposto (cioè il segno > è diventato <).]

8. (A) In che cosa si differenzia il secondo principio di equivalenza delle disequazioni dal secondo principio di equivalenza delle equazioni?

9. (B) Esistono dei casi in cui il secondo principio di equivalenza per le disequazioni vale anche se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri della disequazione per un’espressione algebrica (e non solo per un numero reale)?

[Esiste un solo caso in cui il principio di equivalenza continua a valere ed è quello in cui l’espressione algebrica risulta sempre positiva o sempre negativa e mai nulla per ogni x ∈ ℝ. Esempio: l’espressione algebrica x² + 1 risulta sempre positiva, per qualsiasi valore di x. Quindi moltiplicando ciascun membro di una disequazione come 2x − 5 > x + 3 per x² + 1 si ottiene una disequazione equivalente: (x² + 1) ⋅ (2x − 5) > (x + 3) ⋅ (x² + 1) è equivalente a 2x − 5 > x + 3.]

10. (A) In base al secondo principio di equivalenza per le disequazioni, è possibile cambiare il segno di tutti i termini di una disequazione?

[Sì, e si ottiene una disequazione equivalente ma a condizione di cambiarne il verso (regola del cambio di segno). Esempio: 2x − 5 > x + 3 è equivalente a − 2x + 5 < − x − 3.]

11. (B) Perché, se si cambia il segno a tutti i termini di una disequazione, si ottiene una disequazione equivalente purché sia di verso opposto a quella di partenza?

[Perché è come moltiplicare entrambi i membri della disequazione per −1, che è un numero negativo, e, in base al secondo principio di equivalenza, se si moltiplicano entrambi i membri di una disequazione per un numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data a condizione di cambiarne il verso. Esempio: 2x − 5 > x + 3 è equivalente a − 2x + 5 < − x − 3 perché − 2x + 5 < − x − 3 si ottiene moltiplicando sia 2x − 5 che x + 3 per −1 e cambiando il verso della disequazione, cioè passando dal segno > al segno <.]

12. (C) La disequazione −3x ≥ + 8 è equivalente alla disequazione +3x ≥ − 8 o alla disequazione −3x ≤ + 8 o alla disequazione +3x ≤ − 8?

[È equivalente alla disequazione +3x ≤ − 8: entrambi i membri sono stati moltiplicati per −1 ed è stato cambiato il verso (regola del cambio di segno).]