3.10 LEGGI DI MONOTONIA E DI CANCELLAZIONE
1. LEGGI DI MONOTONIA
1. (B) Le leggi di monotonìa che cosa riguardano?
[I comportamenti delle uguaglianze e delle disuguaglianze tra numeri naturali o numeri interi quando sommiamo o moltiplichiamo entrambi i membri dell’uguaglianza o della disuguaglianza per uno stesso numero.]
2. (A) Che cosa afferma la prima legge di monotonia?
[Che una uguaglianza o una disuguaglianza resta vera se aggiungiamo a entrambi i membri uno stesso numero. Vale sia per i numeri naturali che per i numeri interi. In simboli: se è vero che a = b, allora è vero anche che a + c = b + c; se è vero che a < b, allora è vero anche che a + c < b + c; se è vero che a > b, allora è vero anche che a + c > b + c.
Esempio 1: se a entrambi i membri dell’uguaglianza –6 – 2 = –13 +5 aggiungiamo +3, otteniamo un’altra uguaglianza vera: –6 – 2 + 3 = –13 +5 + 3.
Esempio 2: se a entrambi i membri della disuguaglianza +3 < +10, aggiungiamo +5, otteniamo +8 < +15, che è anch’essa una disuguaglianza vera.]
3. (A) Che cosa afferma la seconda legge di monotonia per le uguaglianze?
[Un’uguaglianza resta vera se moltiplichiamo entrambi i membri per uno stesso numero diverso da 0. Vale sia per i numeri naturali che per i numeri interi. In simboli: se è vero che a = b allora è vero anche che a ⋅ c = b ⋅ c (con c ≠ 0).
Esempio: se moltiplichiamo entrambi i membri della seguente uguaglianza +4 + (+6) = +10 per –3, otteniamo un’altra uguaglianza vera: infatti (+4 +6) ⋅ (–3) = +10 ⋅ (–3) diventa –30 = –30.]
4. (B) Che cosa succede se si moltiplicano entrambi i membri di un’uguaglianza per 0?
[Che, se l’uguaglianza è falsa, diventa vera.
Esempio: se moltiplichiamo entrambi i membri dell’uguaglianza falsa 7 + 3 = 20 + 8 per 0, otteniamo: (7 + 3) ⋅ 0 = (20 + 8) ⋅ 0 → 10 ⋅ 0 = 28 ⋅ 0 → 0 = 0 che è un’uguaglianza vera. Per questo motivo la seconda legge di monotonia richiede che il numero per cui si moltiplica sia diverso da 0.]
5. (A) Che cosa afferma la seconda legge di monotonia per le disuguaglianze?
[Una disuguaglianza resta valida se moltiplichiamo entrambi i membri per uno stesso numero positivo, mentre cambia verso (da < a > o viceversa) se moltiplichiamo entrambi i membri per uno stesso numero negativo. In simboli: se è vero che a < b, allora è vero anche che a ⋅ c < b ⋅ c (con c > 0, cioè se il fattore c è un numero positivo), mentre se c < 0, cioè se il fattore c è un numero negativo, allora a < b diventa a ⋅ c > b ⋅ c.
Esempio: se moltiplichiamo entrambi i membri della disuguaglianza +4 < +6 per +3, otteniamo un’altra disuguaglianza vera: infatti +4 ⋅ (+3) < +6 ⋅ (+3) diventa +12 < +18 (+12 è minore di +18 così come +4 è minore di +6). Ma se moltiplichiamo entrambi i membri della stessa disuguaglianza per –3, otteniamo –12 > –18 (–12 è maggiore di –18 a differenza di +4 che è minore di +6).]
2. LEGGI DI CANCELLAZIONE
6. (A) Che cosa sono le leggi di cancellazione?
[Sono le leggi inverse delle leggi di monotonia.]
7. (B) Come diventa l’uguaglianza +3 + 7 + 5 = +10 +5, se applichiamo la prima legge di cancellazione?
[+3 + 7 = +10. È il processo inverso a quello della prima legge di monotonia, e infatti, se applichiamo all’uguaglianza +3 + 7 = +10 la prima legge di monotonia aggiungendo +5 a entrambi i membri, otteniamo +3 + 7 + 5 = +10 +5.]
8. (B) Come diventa la disuguaglianza +3 + 5 < +10 +5, se applichiamo la prima legge di cancellazione?
[+3 < +10. È il processo inverso a quello della prima legge di monotonia, infatti, se applichiamo alla disuguaglianza +3 < +10 la prima legge di monotonia aggiungendo +5 a entrambi i membri, otteniamo +3 + 5 < +10 +5.]
9. (B) Come diventa l’uguaglianza (+4 +6) ⋅ (–3) = +10 ⋅ (–3), se applichiamo la seconda legge di cancellazione?
[+4 +6 = +10. È il processo inverso a quello della seconda legge di monotonia per l’uguaglianza, infatti, se moltiplichiamo entrambi i membri dell’uguaglianza +4 +6 = +10 per uno stesso numero, per esempio –3, otteniamo (+4 +6) ⋅ (–3) = +10 ⋅ (–3).]
10. (B) Come diventa la disuguaglianza +4 ⋅ (+3) < +6 ⋅ (+3), se applichiamo la seconda legge di cancellazione?
[+4 < +6. È il processo inverso a quello della seconda legge di monotonia per la disuguaglianza, infatti, se moltiplichiamo entrambi i membri della disuguaglianza +4 < +6 per uno stesso numero, per esempio +3, otteniamo +4 ⋅ (+3) < +6 ⋅ (+3).]