3.5 TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DAL SEGNO DI RADICE

1. QUANDO IL RADICANDO È UN NUMERO

1. (A) Dato il radicale $\sqrt{50}$, come si fa a trasportare tutti i fattori possibili fuori dal segno di radice?

[$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\cdot \sqrt{2}$. Abbiamo ridotto il radicando iniziale (50) a due fattori (25 e 2), di cui uno (25) è un quadrato perfetto ($5^2$), quindi abbiamo trasportato il fattore 5 fuori dalla radice.]

2. (A) Dato il radicale $\sqrt[3]{32}$, come si fa a trasportare tutti i fattori possibili fuori dal segno di radice?

[$\sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{8\cdot 4}=\sqrt[3]{2^3\cdot 4}=2\cdot \sqrt[3]{4}$. Abbiamo ridotto il radicando iniziale (32) a due fattori (8 e 4), di cui uno (8) è un cubo perfetto ($2^3$), quindi abbiamo trasportato il fattore 2 fuori dalla radice. Invece il fattore 4 non può essere trasportato fuori perché non è un cubo perfetto (è un quadrato perfetto, ma all’interno di una radice cubica, non quadrata).]

3. (B) Dato il radicale $\sqrt[4]{32}$, come si fa a trasportare tutti i fattori possibili fuori dal segno di radice?

[$\sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=\sqrt[4]{2^4\cdot 2}=2\cdot \sqrt[4]{2}$. Abbiamo ridotto il radicando iniziale (32) a due fattori (16 e 2), di cui uno (16) è una potenza di esponente multiplo di quattro ($2^4$), quindi abbiamo trasportato il fattore 2 fuori dalla radice.]

4. (B) Dato il radicale $\sqrt{21}$, come si fa a trasportare tutti i fattori possibili fuori dal segno di radice?

[Non è possibile trasportare fuori alcun fattore, perché nessuno dei due divisori di 21 (3 e 7) è un quadrato perfetto.]

2. QUANDO IL RADICANDO È UNA LETTERA O UN’ESPRESSIONE LETTERALE

5. (A) Dato il radicale $\sqrt[n]{a^{n}b}$, con n numero naturale diverso da 0 e maggiore di 1, è possibile trasportare i fattori a e b fuori dal segno di radice? [

È possibile trasportare a ma non b:

6. (B) Dato il radicale $\sqrt[n]{a^{n}b}$, perché se n è pari, $a^n$ trasportato fuori del segno di radice diventa $\left|a\right|$ (il valore assoluto di a) e quindi abbiamo $\left|a\right|\sqrt[n]{b}$?

[Perché, se non mettessimo il valore assoluto e a rappresentasse un numero negativo, $\sqrt[n]{a^{n}b}$ e $a\sqrt[n]{b}$ sarebbero discordi e quindi non sarebbero equivalenti.

Esempio: dato il radicale $\sqrt[n]{a^{n}b}$, assumiamo come prima ipotesi che n = 2, a = 2, b = 9. Facendo le sostituzioni otteniamo $\sqrt{2^2\cdot 9}=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$. Il risultato non cambia se trasportiamo il fattore $2^2$ fuori dal segno di radice: $2\sqrt{9}=2\cdot 3=6$.

Assumiamo ora n = 2, a = −2, b = 9. L’espressione diventa $\sqrt{{(-2)}^2\cdot 9}=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$. Ma (attenzione!) senza considerare il valore assoluto otterremmo $-2\sqrt{9}=-2\cdot 3=-6$. Le due espressioni sarebbero quindi discordi, il che è inaccettabile perché non sarebbero equivalenti.]

7. (B) Dato il radicale $\sqrt[n]{a^{n}b}$, con n numero naturale diverso da 0, perché non è possibile trasportare il fattore b fuori dal segno di radice?

[Perché b non ha un esponente, ma è possibile trasportare fuori solo un fattore che ha un esponente uguale all’indice (come il fattore $a^n$) o, come vedremo, un esponente maggiore dell’indice.]

8. (A) Dato il radicale $\sqrt[3]{a^{3}b}$, come si fa a trasportare tutti i fattori possibili fuori dal segno di radice?

[$a\sqrt[3]{b}$.]

9. (A) Dato il radicale $\sqrt[4]{a^{4}b}$, come si fa a trasportare tutti i fattori possibili fuori dal segno di radice?

[$\left|a\right|\sqrt[4]{b}$, per b ≥ 0.]

10. (A) Dato il radicale $\sqrt[n]{a^m}$, con n e m numeri naturali diversi da 0, è possibile trasportare il radicando a fuori dal segno di radice? [

Sì, se m ≥ n. Posto m = nq + r, con 0 ≤ r < n, otteniamo:

11. (B) Dato il radicale $\sqrt{a^3}$, che cosa si ottiene trasportando tutti i fattori possibili fuori dal segno di radice?

[$a\sqrt{a}$, con a ≥ 0. Ecco i passaggi: $\sqrt{a^3=\sqrt{a^2\cdot a}=a\sqrt{a}}$.]

12. (B) Dato il radicale $\sqrt{a^2{b}^3}$, che cosa si ottiene trasportando tutti i fattori possibili fuori dal segno di radice?

[Per b ≥ 0 si ottiene $\left|a\right|b\sqrt{b}$. Infatti: $\sqrt{a^2{b}^3}=\sqrt{a^2{b}^{2}b}=\left|a\right|b\sqrt{b}$. Se a = 0, l’espressione iniziale vale 0 anche per b < 0.]

13. (B) Dato il radicale $\sqrt[3]{a^2{b}^3}$, che cosa si ottiene trasportando tutti i fattori possibili fuori dal segno di radice?

[$b\sqrt[3]{a^2}$.]

14. (B) Dato il radicale $\sqrt[3]{a^{2}b}$, come si fa a trasportare tutti i fattori possibili fuori dal segno di radice?

[Non è possibile, perché nessuno dei fattori ha un esponente che è un multiplo di 3, cioè dell’indice del radicale.]

15. (B) Dato il radicale $\sqrt[3]{a^{14}}$, che cosa si ottiene trasportando fuori dal segno di radice tutti i possibili fattori?

[$a^4\cdot \sqrt[3]{a^2}$. L’esponente 14 non è un multiplo dell’indice 3, ma $a^{14}$ è il prodotto di $a^{12}\cdot a^2$ e 12 è un multiplo di 3. Quindi: $\sqrt[3]{a^{14}}=\sqrt[3]{a^{12}\cdot a^2}=a^4\sqrt[3]{a^2}$.]