7.3 PROPRIETÀ RIFLESSIVA, SIMMETRICA, TRANSITIVA…

1. RELAZIONE DEFINITA IN UN INSIEME

1. (A) Che cos’è una relazione definita in un insieme?

[È una relazione in cui l’insieme di partenza e quello di arrivo coincidono, cioè è una relazione tra gli elementi di uno stesso insieme. Per comodità di solito ci si riferisce a una relazione definita in un insieme indicando la sua proprietà caratteristica invece che l’intera proposizione aperta. Esempio 1: la relazione “essere coetaneo” in un insieme di persone. Esempio 2: la relazione “avere lo stesso colore” in un insieme di fiori.]

2. (B) Come si chiama la rappresentazione sagittale di una relazione definita in un insieme?

[Grafo.]

3. (B) Come si fa a disegnare un grafo per rappresentare una relazione definita in un insieme?

[Si disegnano dei punti che rappresentano gli elementi dell’insieme e delle frecce che collegano i punti.]

4. (B) Come sono detti i punti di un grafo?

[Nodi.]

5. (C) Se un elemento di una relazione definita in un insieme è in relazione con se stesso, come viene definita la freccia che parte dal nodo che lo rappresenta e, disegnando un cerchio, torna ad esso?

[Cappio. Come vedremo, il grafo di una relazione che gode della proprietà riflessiva è costituita da uno o più cappi.]

2. PROPRIETÀ DI UNA RELAZIONE DEFINITA IN UN INSIEME

6. (A) Che proprietà può avere una relazione definita in un insieme? [

2.1 PROPRIETÀ RIFLESSIVA

7. (A) Quand’è che una relazione ℜ definita in un insieme A gode della proprietà riflessiva?

[Quando ogni elemento di A è in relazione con se stesso. In simboli: ∀x ∈ A: x ℜ x. Esempio 1: in qualsiasi insieme di persone, la relazione “a ha la stessa età di b” è riflessiva perché ogni persona ha la stessa età di se stessa. Esempio 2: la relazione “è divisore di”, definita nell’insieme A = {1, 2, 3}, gode della proprietà riflessiva perché ogni elemento di A è divisore di se stesso (infatti, più in generale, ogni numero è divisore di se stesso).]

8. (A) Affinché un insieme goda delle proprietà riflessiva, ogni elemento dell’insieme deve essere in relazione con se stesso?

[Sì.]

9. (A) Come si rappresenta con un grafo la proprietà riflessiva di un insieme A?

[Ogni elemento dell’insieme ha una freccia, detta cappio, che parte da tale elemento e ritorna ad esso.]

10. (C) Quali di queste relazioni sono riflessive: “a ha lo stesso padre di b” (relazione definita in un insieme di persone), “a è a sud di b” (relazione tra i punti di una regione geografica); “x è uguale a y” (relazione definita in un insieme di numeri); “a è più giovane di b” (relazione definita in un insieme di individui)?

[“a ha lo stesso padre di b”, perché ognuno ha lo stesso padre di se stesso, e “x è uguale a y”, perché ogni numero è uguale a se stesso. Invece, “a è a sud di b” non è riflessiva, perché nessuno punto geografico può essere a sud di se stesso. E neppure “a è più giovane di b” è riflessiva perché nessuno è più giovane di se stesso.]

2.2 PROPRIETÀ SIMMETRICA

11. (A) Quand’è che una relazione ℜ definita in un insieme A gode della proprietà simmetrica?

[Quando, considerati due elementi x e y dell’insieme A, se x è in relazione con y, allora anche y è in relazione con x. In simboli: x ℜ y ⇒ y ℜ x, x, y ∈ A. Esempio: la relazione ℜ “è fratello di”, definita nell’insieme A costituito da coppie di fratelli: se Andrea (un elemento dell’insieme) è fratello di Giuseppe (altro elemento dell’insieme), Giuseppe è fratello di Andrea.]

12. (A) Come si può rappresentare con un grafo la proprietà simmetrica di un insieme A?

[Ogni coppia di elementi dell’insieme è collegata con una coppia di frecce: una che collega un elemento a ad un elemento b (freccia di andata) e un’altra che collega l’elemento b all’elemento a (freccia di ritorno).]

13. (B) Se una relazione ℜ definita in un insieme A gode della proprietà simmetrica, significa che ogni elemento è in relazione con un altro e viceversa?

[No, significa che se a è in relazione con b allora b è in relazione con a, ma ci possono essere uno o più elementi che non sono in relazione con nessun altro elemento.]

14. (C) Quali di queste relazioni sono simmetriche: “a è padre di b” (in un insieme di uomini); “a è più giovane di b” (in un insieme di persone); “a è seduto davanti a b” (in un insieme di studenti in una classe)?

[Nessuna. Infatti se a è padre di b, b non può essere padre di a (nessuno può essere il padre del proprio padre). Se a è più giovane di b, b non può essere più giovane di a. Se a è seduto davanti a b, b non può essere seduto davanti ad a.]

15. (C) Quale di queste relazioni riferite alle rette è simmetrica: “r è parallela a s”; “r è perpendicolare a s”?

[Entrambe: se una retta r è parallela a una retta s, allora anche la retta s è parallela alla retta r; se una retta r è perpendicolare a una retta s, allora anche la retta s è perpendicolare alla retta r.]

2.3 PROPRIETÀ TRANSITIVA

16. (A) Quand’è che una relazione ℜ definita in un insieme A gode della proprietà transitiva?

[Quando, considerati tre elementi a, b, c dell’insieme A, se a è in relazione con b, e b è in relazione con c, allora anche a è in relazione con c. In simboli: se a ℜ b e b ℜ c, allora a ℜ c. Esempio: la relazione ℜ “è più alto di”, definita nell’insieme A costituito da tre ragazzi di altezze diverse: Paolo, Daniele, Valerio. Se Paolo è più alto di Valerio e Valerio è più alto di Daniele, allora Paolo è più alto di Daniele.]

17. (B) Come si può rappresentare con un grafo la proprietà transitiva di un insieme A in cui a, b, c sono tre elementi in relazione? [

18. (C) Quali di queste relazioni godono della proprietà transitiva: “a è amico di b”, “a è padre di b”, “a è fratello di b”?

[Solo “a è fratello di b”, infatti se, per esempio, Mario è fratello di Gino e Gino è fratello di Luca, allora Mario è fratello di Luca. Invece “a è amico di b” non è sempre transitiva: non è detto infatti che se Mario è amico di Gino e Gino è amico di Luca, allora anche Mario è amico di Luca. “a è padre di b” non può essere transitiva in nessun caso: infatti se Mario è padre di Gino e Gino è padre di Luca, allora Mario è nonno (e non padre) di Luca.]

2.4 PROPRIETÀ ANTIRIFLESSIVA

19. (A) Quand’è che una relazione ℜ definita in un insieme A gode della proprietà antiriflessiva?

[Quando nessun elemento di A è in relazione con se stesso. Esempio: la relazione “è padre di”.]

20. (C) La relazione ℜ = {(a; b); (b; c); (a; c)} definita nell’insieme A = {a; b; c} è antiriflessiva?

[Sì, perché nessun elemento è in relazione con se stesso.]

2.5 PROPRIETÀ ANTISIMMETRICA

21. (A) Quand’è che una relazione ℜ definita in un insieme A gode della proprietà antisimmetrica?

[Quando per ogni elemento a in relazione con b, con a diverso da b, non è mai vero che b è in relazione con a. Esempio: la relazione “è più giovane di”: se Chiara è più giovane di Rita, Rita non può essere più giovane di Chiara.]

22. (C) Da che cosa è caratterizzata la proprietà antisimmetrica da un punto di vista grafico?

[In corrispondenza di una freccia di andata non c’è mai una freccia di ritorno (contrariamente al caso della rappresentazione simmetrica).]