7.5 RELAZIONI D’ORDINE
1. RELAZIONE DI ORDINE LARGO
1. (B) Che cos’è una relazione di ordine largo?
[È una relazione che gode contemporaneamente della proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Esempio: dato l’insieme A = {2, 4, 5, 8} la relazione ℜ tale che “x ℜ y se x è divisore di y” è di ordine largo. Infatti ogni numero è divisore di se stesso (proprietà riflessiva); se un numero è divisore di un altro, non è vero il contrario (proprietà antisimmetrica); se un numero è divisore di un altro (esempio: 2 è divisore di 4) e questo è divisore di un terzo numero (esempio: 4 è divisore di 8), allora il primo è divisore del terzo (esempio: 2 è divisore di 8) (proprietà transitiva).]
2. RELAZIONE DI ORDINE STRETTO
2. (B) Che cos’è una relazione di ordine stretto?
[È una relazione che gode contemporaneamente della proprietà antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva. Esempio: A = {1, 2, 3} la relazione ℜ tale che “x ℜ y se x è maggiore di y” è di ordine stretto. Infatti nessun numero è maggiore di se stesso (proprietà antiriflessiva); se un numero è maggiore di un altro, non è vero il contrario (proprietà antisimmetrica); se un numero è maggiore di un altro (esempio: 3 è maggiore di 2) e questo è maggiore di un terzo numero (esempio: 2 è maggiore di 1), allora il primo è maggiore del terzo (esempio: 3 è maggiore di 1) (proprietà transitiva).]
3. (C) Le relazioni “x è minore di y” e “x è minore o uguale a y” definite nell’insieme ℕ dei numeri naturali sono relazioni di ordine largo o stretto?
[“x è minore di y” è di ordine stretto; “x è minore o uguale a y” è di ordine largo.]
3. RELAZIONE DI ORDINE TOTALE
4. (B) Che cos’è una relazione di ordine totale?
[Una relazione di ordine largo o stretto definita in un insieme è una relazione di ordine totale, se, presi due elementi distinti qualunque dell’insieme, risulta sempre che il primo elemento è in relazione con il secondo o viceversa. Esempio: la relazione ℜ “a è maggiore di b” definita nell’insieme ℕ è una relazione di ordine stretto totale, infatti, è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva e, presi a caso due numeri naturali distinti, uno è maggiore dell’altro o viceversa.]
4. RELAZIONE DI ORDINE PARZIALE
5. (B) Che cos’è una relazione di ordine parziale?
[Una relazione di ordine largo o stretto definita in un insieme è una relazione di ordine parziale, se, presi due elementi distinti qualunque dell’insieme, non sempre il primo elemento è in relazione con il secondo o viceversa. Esempio: la relazione ℜ “a è divisore di b” definita nell’insieme ℕ è una relazione di ordine largo parziale, infatti, è riflessiva, antisimmetrica e transitiva ma non sempre, presi a caso due numeri naturali distinti, uno è divisore dell’altro o viceversa (esempio: 3 e 20: 3 non è divisibile per 20 né viceversa).]