7.4 RELAZIONI DI EQUIVALENZA E CLASSI DI EQUIVALENZA

1. RELAZIONI DI EQUIVALENZA

1. (A) Quand’è che una relazione ℜ definita in un insieme A è una relazione di equivalenza?

[Quando gode contemporaneamente delle proprietà: riflessiva, simmetrica, transitiva. Esempio: la relazione “x è parallela a y” riferita alle rette di un piano è una relazione di equivalenza; infatti, è riflessiva (ogni retta è parallela a se stessa), è simmetrica (se la retta x è parallela alla retta y, y è parallela a x); è transitiva (se x è parallela a y, y è parallela a z, allora anche x è parallela a z).]

2. (C) Quali delle seguenti relazioni definite in un insieme di persone sono relazioni di equivalenza: “a è coetaneo di b”; “a è più giovane di b”; “a abita nella stessa città di b”?

[“a è coetaneo di b” e “a abita nella stessa città di b”.]

2. CLASSI DI EQUIVALENZA

3. (A) Che cos’è una classe di equivalenza?

[Ciascuno dei sottoinsiemi non vuoti che costituiscono la partizione di un insieme, in cui è definita una relazione di equivalenza. Esempio: l’insieme A in cui è definita la relazione “è coetaneo di” (vedi domanda precedente) può essere suddiviso in tre sottoinsiemi non vuoti ciascuno dei quali rappresenta una classe di equivalenza: il sottoinsieme A₁ = {Marta, Silvia, Elena}, il sottoinsieme A₂ = {Ada, Lena}, il sottoinsieme A₃ = {Giulia}.]

4. (B) Quale dei seguenti insiemi viene tipicamente suddiviso in classi di equivalenza: l’insieme delle frazioni o l’insieme dei numeri interi?

[L’insieme delle frazioni. Infatti ogni frazione è equivalente a se stessa (proprietà riflessiva); esempio: $\frac{3}{4}$ = $\frac{3}{4}$. Se una frazione è equivalente a un’altra, questa è equivalente alla prima (proprietà simmetrica); esempio: $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$ ⇒ $\frac{6}{8}$ = $\frac{3}{4}$. Se una frazione è equivalente a un’altra e questa è equivalente a una terza, allora anche la prima è equivalente alla terza (proprietà transitiva); esempio: $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$ e $\frac{6}{8}$ = $\frac{9}{12}$ ⇒ $\frac{3}{4}$ = $\frac{9}{12}$. Ogni classe di equivalenza nell’insieme delle frazioni rappresenta un diverso numero razionale.]

5. (B) Data una relazione ℜ di equivalenza definita in un insieme A, com’è detto l’insieme formato da tutte le classi di equivalenza di A?

[Insieme quoziente di A rispetto a ℜ.]

6. (B) Come si indica l’insieme quoziente di A rispetto a ℜ?

[Con A/ℜ.]

7. (B) Come si può rappresentare non graficamente l’insieme quoziente di A rispetto a ℜ?

[O mettendo tra parentesi quadre un simbolo che indica la caratteristica comune di ciascuna classe oppure mettendo tra parentesi quadre un elemento qualsiasi di ciascuna classe. Esempio: la relazione ℜ = “il nome x è formato dallo stesso numero di lettere del nome y” è una relazione di equivalenza definita nell’insieme A = {Dino, Luca, Elena, Marta, Lucia, Dario, Ginevra}. Quindi possiamo dividere l’insieme A in 3 sottoinsiemi formati dai nomi con lo stesso numero di lettere: A₁ = {Dino, Luca} (4 lettere); A₂ = {Elena, Marta, Lucia, Dario} (5 lettere); A₃ = {Ginevra} (7 lettere). E indicare l’insieme quoziente di A rispetto a ℜ così A/ℜ = {[Dino]; [Marta]; [Ginevra]} oppure così A/ℜ = {[4]; [5]; [7]}.]