8.1 FUNZIONI: DOMINIO, CODOMINIO, IMMAGINE E CONTROIMMAGINE

1. DEFINIZIONE DI FUNZIONE

1. (A) Che cos’è una funzione?

[Dati due insiemi A e B, una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento dell’insieme di partenza A uno e un solo elemento dell’insieme di arrivo B.

Esempio: dato un insieme di persone, è una funzione la relazione che associa a ciascuna di esse la sua età.]

2. (A) Ogni relazione che associa ad un elemento di un insieme di partenza A un elemento di un insieme di arrivo B è una funzione?

3. (B) Quali dei seguenti diagrammi rappresentano una relazione ma non una funzione?

[I diagrammi 2 e 3 rappresentano relazioni che non sono funzioni. Infatti nel diagramma 2 all’elemento c dell’insieme di partenza A non corrisponde nessun elemento nell’insieme di arrivo B. Nel diagramma 3, all’elemento b di A corrispondono due elementi di B (il 2 e il 3) anziché uno solo. Il diagramma 1 invece rappresenta una relazione che è anche una funzione perché ad ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B (il fatto che un elemento di B, cioè dell’insieme di arrivo, sia l’immagine di due elementi di A, insieme di partenza, non è affatto in contraddizione con la definizione di funzione).]

4. (B) Quale dei seguenti diagrammi rappresenta una funzione?

[Tutti e tre. Infatti in ciascuno dei tre diagrammi ad ogni elemento dell’insieme di partenza A corrisponde uno e un solo elemento dell’insieme di arrivo B.]

5. (C) Consideriamo la relazione che associa a ogni persona la sua data di nascita e la relazione che associa a ogni persona suo fratello, queste relazioni sono funzioni?

[Quella che associa a ogni persona la sua data di nascita sì (perché ogni persona ha la sua data di nascita), quella che associa a ogni persona suo fratello no (perché non tutti hanno un fratello e alcuni hanno più fratelli).]

6. (B) Come viene anche detta una funzione?

[Applicazione.]

7. (B) Per il fatto che una funzione associa ad ogni elemento di A un unico elemento di B, come viene anche chiamata?

[Corrispondenza univoca.]

8. (A) Con quale lettera si indica una funzione?

[Con una lettera minuscola, generalmente con f (ma anche con g o h… o qualsiasi altra lettera minuscola).]

9. (A) Come si indica una funzione f il cui insieme di partenza è A e il cui insieme di arrivo è B?

[f : A → B e si legge “f è una funzione da A a B”.]

10. (B) Quali sono i tre elementi che caratterizzano una funzione?

[Il dominio, il codominio e una legge.]

2. DOMINIO E CODOMINIO

11. (B) Il dominio e il codominio di una funzione f: A → B coincidono, rispettivamente, con l’insieme di partenza (dominio = A) e con l’insieme di arrivo (codominio = B)?

[Sì, in una funzione il dominio coincide sempre con l’insieme di partenza (A), e il codominio coincide sempre con l’insieme di arrivo (B). Del codominio B fanno parte anche gli elementi che non sono in relazione con alcun elemento di A.

Esempio: data la relazione “x è il doppio di y”, se l’insieme di partenza è A = {4, 6, 8, 10} e l’insieme di arrivo è B = {2, 3, 4, 5}, il dominio coincide con A e il codominio con B; ma anche se l’insieme di partenza è A = {4, 6, 8} e l’insieme di arrivo è sempre B = {2, 3, 4, 5}, il dominio coincide con A e il codominio con B e non con un sottoinsieme di B costituito da {2, 3, 4}.]

3. IMMAGINE E CONTROIMMAGINE

12. (A) Che cosa sono le immagini e le controimmagini di una funzione?

[Le immagini sono gli elementi del codominio; le controimmagini sono gli elementi del dominio associati a una determinata immagine. L’insieme delle immagini è detto “insieme immagine”, e può coincidere con il codominio o essere un suo sottoinsieme.]

13. (B) In una funzione quante immagini ha ogni elemento del dominio?

[Una e una sola. Invece in una relazione che non sia una funzione un elemento del dominio può avere più di una immagine nel codominio.]

14. (A) Quali sono le lettere che indicano, rispettivamente, la variabile immagine e la variabile controimmagine di una funzione?

[L’immagine si indica con la y; la controimmagine con la x.]

15. (A) Come si può indicare la funzione f: A → B, facendo riferimento alle variabili x e y?

[y = f(x), che si legge “y uguale effe di x” oppure “y è funzione di x”.]

16. (A) Come sono dette, rispettivamente, la variabile x e la variabile y che compaiono nella formula generale di una funzione: y = f(x)?

[x variabile indipendente; y variabile dipendente. La x viene detta variabile indipendente perché ad essa viene dato di volta un valore arbitrario, cioè scelto liberamente. La y invece viene detta variabile dipendente perché il suo valore varia al variare del valore di x, in base alla legge stabilita dalla funzione.]

4. LEGGE DI UNA FUNZIONE

17. (B) Abbiamo detto che una funzione è caratterizzata da un dominio, una legge e un codominio; che cosa stabilisce la legge di una funzione?

[Come determinare, a partire dal valore di x (variabile indipendente), il corrispondente valore di y (variabile dipendente).

Esempio: se la funzione è y = x + 1 (cioè “y è il successivo di x”) e il dominio in cui la funzione è definita è ℕ, l’insieme dei numeri naturali, allora, se diamo a x il valore 0, la sua immagine y avrà valore 1; se diamo a x il valore 1, la sua immagine y avrà valore 2…]

5. FUNZIONE COME MACCHINA

18. (B) Si può paragonare una funzione a una macchina che trasforma dei cubi in palline; la macchina è dotata di due secchielli: uno contiene i cubi che entrano nella macchina di trasformazione, l’altro contiene le palline che escono dalla macchina. Che cosa rappresentano, rispettivamente, il secchiello con i cubi, la macchina di trasformazione e il secchiello con le palline?

[Il secchiello con i cubi il dominio della funzione; la macchina di trasformazione la legge della funzione; il secchiello con le palline il codominio.

Esempio: immaginiamo una macchina che raddoppia i numeri che vi vengono inseriti. Se inseriamo 2, la macchina restituisce 4; se inseriamo 5, restituisce 10; se inseriamo 8, restituisce 16. La macchina applica quindi la legge y = 2x. I numeri inseriti costituiscono il dominio, la macchina rappresenta la legge della funzione e i numeri restituiti appartengono al codominio.]