8.2 FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE, BIUNIVOCHE

1. CLASSIFICAZIONE

1. (A) In base al numero di controimmagini che possono avere gli elementi del codominio, come possono essere classificate le funzioni?

2. FUNZIONI INIETTIVE

2. (A) Quand’è che una funzione f: A → B è iniettiva?

[Quando ogni elemento di B è immagine al massimo di un elemento di A. In termini grafici: ad ogni elemento di B arriva al massimo una freccia da un elemento di A.]

3. FUNZIONI SURIETTIVE

3. (A) Quand’è che una funzione f: A → B è suriettiva?

[Quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. In termini grafici: ad ogni elemento di B arriva almeno una freccia da un elemento di A.]

4. FUNZIONI BIUNIVOCHE

4. (A) Quand’è che una funzione f: A → B è biiettiva?

[Quando ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A. In termini grafici: ad ogni elemento di B arriva una sola freccia da un elemento di A.]

5. (B) Che legame hanno le funzioni biiettive con le funzioni iniettive e suriettive?

[Tutte le funzioni biiettive sono anche iniettive e suriettive.]

6. (A) Come viene anche detta una funzione biiettiva?

[Corrispondenza biunivoca.]

7. (B) Come si indica una corrispondenza biunivoca (funzione biunivoca) in simboli?

[f: A ↔ B.]

5. ESEMPI

8. (B) Se A è l’insieme delle attuali regine europee e B è l’insieme degli Stati europei, la funzione f: “x è regina di y” con x ∈ A e y ∈ B è una funzione iniettiva, suriettiva o biiettiva?

[Iniettiva, perché ogni Stato europeo è immagine di al massimo una regina (controimmagine). Infatti ci sono Stati che hanno una sola regina, altri che non ce l’hanno.]

9. (B) Se A è l’insieme delle province italiane e B è l’insieme delle regioni italiane, la funzione f: “x è una provincia di y” con x ∈ A e y ∈ B è una funzione iniettiva, suriettiva o biiettiva?

[Suriettiva, perché ogni regione è immagine di almeno una provincia (controimmagine).]

10. (B) Se A è l’insieme delle capitali europee e B è l’insieme degli Stati europei, la funzione f: “x è la capitale di y” con x ∈ A e y ∈ B è una funzione iniettiva, suriettiva o biiettiva?

[Biiettiva, perché ogni Stato è immagine di una e una sola capitale (controimmagine). Ovviamente, essendo biiettiva, tale funzione è anche iniettiva e suriettiva. La funzione è iniettiva perché ogni Stato è immagine di al massimo una capitale (non esistono Stati con più di una capitale; l’Olanda non fa eccezione anche se la sede del suo governo è l’Aia anziché la capitale Amsterdam). La funzione è suriettiva perché ogni Stato ha almeno una capitale (non esistono Stati europei senza capitale).]

6. INSIEME IMMAGINE E CODOMINIO

11. (B) In quali tipi di funzioni l’insieme immagine coincide con il codominio?

[Nelle funzioni suriettive; di conseguenza anche nelle funzioni biiettive.]