8.4 FUNZIONE INVERSA E FUNZIONE COMPOSTA

1. FUNZIONE INVERSA

1. (A) La relazione inversa di una funzione è essa stessa una funzione?

[Solo se la funzione è biunivoca (biiettiva). Poiché una funzione da A a B (f: A → B) è, per definizione, una relazione che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B, la sua funzione inversa (f⁻¹: B → A) deve associare ad ogni elemento di B uno e un solo elemento di A. Ma questo è possibile solo se la funzione da A a B è biunivoca.]

2. (A) Qual è il simbolo della funzione inversa della funzione f?

[f⁻¹.]

3. (A) Se f: A → B è una funzione biunivoca, qual è la sua funzione inversa?

[È la funzione biunivoca f⁻¹: B → A, che a ogni elemento y di B associa uno e un solo elemento x in A.]

4. (B) Come viene detta una funzione che ammette una funzione inversa?

[Invertibile. Una funzione è invertibile se la sua relazione inversa è una funzione.]

5. (B) Quali dei seguenti diagrammi rappresentano funzioni invertibili?

6. (B) Qual è la rappresentazione sagittale della funzione inversa a quella qui rappresentata?

7. (C) Qual è la funzione inversa della funzione biiettiva (f: A → B) con A = {1; 2; 3} e B = {3; 6; 9}, tale che y = 3x?

[f⁻¹: x → $\frac{1}{3}$y.]

2. FUNZIONE COMPOSTA

8. (B) Quanti insiemi occorrono per definire e spiegare che cos’è una funzione composta?

[3 insiemi: A, B, C.]

9. (A) Dati gli insiemi A, B, C, e le funzioni f: B → C e g: A → B, che cos’è la funzione composta di f e g?

[È la funzione tra A e C che si ottiene applicando prima g e poi f.

Esempio: consideriamo l’insieme A delle città del mondo, l’insieme B degli Stati, l’insieme C dei continenti. Definiamo la funzione g: A → B che associa a ogni città lo Stato in cui si trova; la funzione f: B → C che associa a ogni Stato il continente a cui lo Stato appartiene. Se applichiamo a una città la funzione g otteniamo lo Stato in cui si trova la città; se poi applichiamo la funzione f otteniamo il continente a cui la città appartiene. In questo caso quindi la funzione composta ci permette di associare ad ogni città il suo continente.]

10. (B) Come si indica, usando le variabili x e y, la funzione composta che si ottiene applicando prima la funzione g e poi la funzione f?

[y = f(g(x)).

Attenzione: la notazione si legge da destra verso sinistra perché il calcolo si esegue da destra a sinistra: prima si applica g a x, poi si applica f al risultato. È lo stesso motivo per cui nell’espressione 3(2 + x) prima si calcola 2 + x, poi si moltiplica per 3.]

11. (B) Come si indica (senza usare le variabili x e y) la funzione composta che si ottiene applicando prima la funzione g e poi la funzione f?

[f ∘ g (leggi: f composto g). Quindi abbiamo f ∘ g = y = f(g(x)). Il simbolo ∘ significa semplicemente “componi le due funzioni”, ma la funzione più vicina alla variabile x (cioè quella scritta a destra) è quella che viene applicata per prima.]

12. (B) La funzione composta f ∘ g e la funzione composta g ∘ f sono la stessa funzione?

[No: f ∘ g ≠ g ∘ f.

Esempio: date le funzioni f(x) = 3x e g(x) = 2 + x dall’insieme ℤ all’insieme ℤ stesso, l’espressione analitica di f ∘ g è f(g(x)) = 3(2 + x) = 6 + 3x, mentre l’espressione analitica di g ∘ f è g(f(x)) = 2 + 3x.]

13. (B) Consideriamo la funzione composta f ∘ g, quale dominio è contenuto in quale codominio?

[Il dominio di f è contenuto nel codominio di g (a volte può coincidere con esso). Nell’immagine seguente l’insieme B degli Stati del mondo è il codominio di g e, allo stesso tempo, il dominio di f (il dominio di f non deve necessariamente coincidere con il codominio di g: può essere anche un sottoinsieme).]

14. (C) Date le funzioni f(x) = 1 − 2x e g(x) = 5x, quali sono le espressioni analitiche, rispettivamente, di f ∘ g e di g ∘ f?

[L’espressione analitica di f ∘ g è f(g(x)) = 1 − 2(5x) = 1 − 10x; l’espressione analitica di g ∘ f è g(f(x)) = 5(1 − 2x) = 5 − 10x.]

3. FUNZIONE IDENTITÀ

15. (B) Che cosa si ottiene componendo una funzione f: A → B e la sua inversa f⁻¹: B → A?

[Si ottiene la funzione identità: f⁻¹ ∘ f: A → A.]

16. (C) Come sono dette le funzioni f tali che f ∘ f = id (dove id sta per “identità”), come per esempio la funzione identità?

[Funzioni involutorie.]