8.6 GRAFICO DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE

1. GRAFICO DI UNA FUNZIONE

1. (A) Che cos’è il grafico di una funzione reale di variabile reale y = f(x)?

[È l’insieme di tutti i punti del piano cartesiano corrispondenti alle coppie ordinate (x, y) della funzione.]

2. (A) Come si fa a tracciare il grafico di una funzione, per esempio di $y=x^2-4$?

[Per prima cosa si costruisce una tabella, in cui si assegnano a x dei valori arbitrari (per esempio: −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4) e a y i corrispondenti valori che si ottengono risolvendo l’equazione della funzione.]

3. (B) Assegnando dei valori arbitrari a x e calcolando i corrispondenti valori di y, che cosa otteniamo?

[Le coordinate dei punti del grafico.]

4. (A) Una volta ottenute le coordinate dei punti del grafico, qual è il passo successivo?

[Rappresentiamo i punti sul piano cartesiano.]

5. (A) Una volta rappresentati sul piano cartesiano i punti individuati dalle coordinate x e y, qual è il passo successivo?

[Congiungere i punti con una linea continua. Otteniamo così il grafico della funzione.]

2. STABILIRE SE UN GRAFICO È IL GRAFICO DI UNA FUZIONE

6. (A) Osservando un grafico, è possibile stabilire se si tratta del grafico di una funzione o meno?

[Sì, basta immaginare di far scorrere una retta verticale, parallela all’asse delle y lungo il piano cartesiano: se essa interseca il grafico sempre in un solo punto, allora si tratta del grafico di una funzione. Se invece la retta parallela all’asse delle y interseca il grafico in più di un punto contemporaneamente, non abbiamo a che fare con il grafico di una funzione. Nella prima immagine la retta rossa tratteggiata, spostandosi da sinistra a destra, interseca il grafico sempre in un solo punto (prima in A e poi in B); nella seconda immagine, invece, la retta a sinistra interseca il grafico in un solo punto (C), ma a destra in due punti contemporaneamente (in D e in E)]

7. (B) Perché, per stabilire se un grafico è il grafico di una funzione, basta immaginare di far scorrere una retta parallela all’asse y lungo il piano cartesiano e se essa interseca il grafico sempre in un solo punto, allora si tratta del grafico di una funzione?

[Perché una funzione, per definizione, è una relazione che associa ad ogni punto di un insieme uno e un solo punto di un altro insieme: nel caso di un grafico cartesiano, il primo insieme è l’insieme dei valori di x; il secondo quello dei valori di y. Ad ogni punto x deve essere associato uno e un solo punto y.]

8. (A) Quand’è che una funzione si dice, rispettivamente: crescente, decrescente, costante? [