7.1 RELAZIONI BINARIE; DOMINIO E CODOMINIO; RELAZIONE INVERSA

L’argomento di questo capitolo è già stato in parte trattato nel capitolo “Prodotto cartesiano e relazioni” della lezione “Insiemi, relazioni, funzioni” di Introduzione all’Algebra. Inoltre presuppone il concetto di prodotto cartesiano già trattato in un capitolo della lezione “Insiemi” di questo corso.

1. DEFINIZIONE DI RELAZIONE BINARIA

1. (A) Che cos’è una relazione binaria (o, semplicemente, una relazione) tra gli insiemi A e B?

[È un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B e tale sottoinsieme è formato da tutte le coppie ordinate (x; y) che rendono vero un enunciato aperto r(x; y) con x ∈ A e y ∈ B. L’enunciato aperto r(x; y) indica una proprietà. Esempio: dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 8}, il prodotto cartesiano è A × B = {(1, 2), (1, 4), (1, 8), (2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 2), (3, 4), (3, 8)}. Proviamo ad applicare la proprietà espressa dall’enunciato aperto “x è metà di y”, dove x è un elemento qualsiasi di A e y un elemento qualsiasi di B, a tale prodotto cartesiano. Le coppie ordinate che soddisfano tale proprietà sono: (1, 2), (2, 4). Tali coppie ordinate costituiscono un sottoinsieme di A × B e pertanto una relazione binaria.]

2. (A) Qual è il simbolo che indica una relazione binaria?

[ℜ. Tale simbolo indica sia il sottoinsieme di A × B sia la proprietà che individua tale sottoinsieme.]

3. (C) Dati gli insiemi A = {Lia, Ada, Rita} e B = {Bianca, Sofia} e l’enunciato aperto “x è nonna di y” dove x è un elemento di A e y è un elemento di B, se Ada è nonna di Bianca e Sofia mentre Lia e Rita non sono nonne di Bianca e Sofia, qual è la relazione ℜ che rende vero l’enunciato aperto “x è nonna di y”?

[È l’insieme ℜ = {(Ada; Bianca); (Ada; Sofia)}. Tale insieme è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B = {(Lia; Bianca); (Lia; Sofia); (Ada; Bianca); (Ada; Sofia); (Rita; Bianca); (Rita; Sofia)}.]

4. (A) Se l’elemento x è in relazione con l’elemento y (in simboli: x ℜ y), come sono detti, rispettivamente, x e y?

[y è detto immagine di x, e x controimmagine di y. Esempio: se gli elementi delle seguenti coppie ordinate (1; 2), (3; 6) sono in una certa relazione ℜ, 2 è immagine di 1, 6 è immagine di 3; mentre 1 è controimmagine di 2, e 3 è controimmagine di 6.]

2. DOMINIO E CODOMINIO

5. (A) Data una relazione binaria tra gli insiemi A e B, considerati nell’ordine, che cosa sono il dominio e il codominio?

[Il dominio è l’insieme di tutti gli elementi di A che hanno almeno un’immagine in B; il codominio è l’insieme di tutti gli elementi di B che sono immagini di almeno un elemento di A.]

6. (B) Dati gli insiemi A = {2, 4, 8, 10} e B = {1, 2, 3}, e data la relazione “x è doppio di y”, quali sono il dominio D e il codominio C?

[Il dominio è D = {2, 4}; il codominio è C = {1, 2}.]

3. RELAZIONE INVERSA

7. (A) Data la relazione ℜ definita nel prodotto cartesiano A × B, che cos’è la relazione inversa di ℜ?

[È il sottoinsieme di B × A formato dalle coppie che si ottengono a partire da quelle di ℜ invertendo l’ordine: invece di coppie (x, y) avremo coppie (y, x).]

8. (A) Qual è il simbolo di relazione inversa?

[ℜ⁻¹. Alcuni testi preferiscono il simbolo ℜ⁻, altri ancora il simbolo ℜ̄.]

9. (B) Data la relazione ℜ tra A e B, che cos’è la relazione inversa di ℜ?

[È la relazione che si ottiene invertendo l’ordine degli elementi di ogni coppia di ℜ. Esempio: dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, e la relazione ℜ “è la metà di”, la relazione inversa ℜ⁻¹ è la relazione “è il doppio di”.]